Wednesday, March 13, 2013

Ein kleiner mathematischer Beweis

Seit der State of the Union Address von Präsident Obama, in welcher er die Erhöhung des Mindestlohnes ankündigte, sind mir zwei verschiedene Videos vor die Augen gekommen, in denen ein Sprecher die Behauptung aufgestellt hat, dass ein Mindestlohn zu mehr Arbeitslosigkeit führe:

Realtime with Bill Maher31:43Bill Maher: So either you have a welfare state where you gonna have to give the people food stamps or you gonna force companies like McDonalds and Walmart to pay people a wage they can live on.
Jamie Weinstein: Which means the unemployment rate will go up. (...) I mean that's basic economics.
The Rachel Maddow Show00:08John Boehner: When you raise the price of employment, guess what happens: you get less of it.

Dieselbe Behauptung steht auch im Klassiker Economics in One Lesson[PDF] von Henry Hazlitt im Kapitel 18 Minimum Wage Laws, wo er schreibt:
"There is no escape from the conclusion that the minimum wage will increase unemployment". [Hazlitt p117]
Wenn man die Sprecher beim Wort nehmen darf — und die wirkungsvollste Kritik ist immer diejenige, die sich allein auf die Aussagen der Sprecher stützt — dann darf man folgende Gesetzmässigkeit daraus ableiten:

Mindestlöhne führen zu Arbeitslosigkeit

Ich möchte diese Aussage in folgende mathematische Form, der sogenannten Aussagenlogik kleiden (der Pfeil → bedeutet "impliziert"):

M → A

Diese Aussage ist nicht einfach eine abstrakte Theorie. Tatsache ist, dass verschiedene Volkswirtschaften solche Mindestlöhne eingeführt und mehrfach erhöht hatten. Wir müssen also nicht nur glauben, sondern können beobachten, was Mindestlöhne bewirken. Ausserdem haben in den USA einige der Teilstaaten einen eigenen, höheren Mindestlohn eingeführt, während der Nachbarstaat nur den nationalen Mindestlohn hat. Man hat also nicht nur eine Reihe von realen Experimenten, sondern sogar kontrollierte Experimente mit verschiedenen Mindestlöhnen in der gleichen Volkswirtschaft zur gleichen Zeit. Das Ergebnis einer Studie [PDF] des Centers for Economic and Policy Research (CEPR) findet für diese wiederholten Experimente eines Mindestlohnes "(...) No Discernible Effect on Employment" (Titel der Studie).

Wir beobachten also einen Mindestlohn, aber keine Arbeitslosigkeit (M und nicht A)

M ∧ ¬A

Lässt sich nun die Theorie mit der Beobachtung vereinbaren? Können beide Aussagen gelten? Prüfen wir nach:

(M → A) ∧ (M ∧ ¬A)Behauptung und Beobachtung
(M → A) ∧ ¬¬(M ∧ ¬A)doppelte Negation: P ≡ ¬¬P, für alle P
(M → A) ∧ ¬(¬M ∨ ¬¬A)De Morgan im zweiten Term
(M → A) ∧ ¬(¬M ∨ A)doppelte Negation im hinteren A
(M → A) ∧ ¬(M → A)Definition der Implikation: P →Q ≡ ¬P ∨ Q, für alle P, Q

Dies ist ein Widerspruch! Eine Aussage und ihr Gegenteil können nicht gleichzeitig wahr sein. Da wir den zweiten Teil tatsächlich beobachten, muss der erste Teil, also die Behauptung zwingend falsch sein. Damit aber nicht genug, denn die Behauptung ergibt sich ja aus der ökonomischen Theorie!


T → (M → A) Theorie impliziert Behauptung
T → FALSEBehauptung ist falsch (Widerspruch mit der Beobachtung)
¬T ∨ FALSEDefinition der Implikation
¬TDisjunktion kann nur wahr sein, wenn "nicht-T" wahr ist
T ≡ FALSET muss unwahr sein

Wir haben also mit Hilfe der Aussagenlogik bewiesen, dass die ökonomische Theorie falsch sein muss. Wenn eine Theorie korrekt ist, dann impliziert sie keine falschen Aussagen. Die ökonomische Theorie sagt aber einen Sachverhalt zwingend voraus, nämlich dass ein Mindestlohn zu Arbeitslosigkeit führt. Da wir diesen Sachverhalt aber nicht beobachten, ist die ökonomische Theorie beweisbar falsch.

QED

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